O Que É Progressão Geométrica: Termo Geral e Soma
Resposta rápida: uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante — a razão. O termo geral é aₙ = a₁ × q^(n−1), e a soma dos n primeiros termos (quando q ≠ 1) é Sₙ = a₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1).
Diferente da progressão aritmética, que cresce de forma linear, a progressão geométrica cresce de forma exponencial — e essa diferença tem consequências surpreendentes.
🔢 Calcule sua PG Use a Calculadora de Progressão Geométrica gratuita.Um exemplo de PG
A sequência 2, 6, 18, 54, 162... é uma PG com primeiro termo a₁ = 2 e razão q = 3 (cada termo é o anterior multiplicado por 3). O sexto termo seria a₆ = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486.
Calculando a soma dos termos
Para somar os 6 primeiros termos dessa PG: Sₙ = 2 × (3⁶ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × 728 ÷ 2 = 728. Note como a soma cresce muito mais rápido que numa PA de mesma escala inicial, por causa do crescimento multiplicativo.
PA x PG: a diferença de crescimento
Na PA, cada termo soma um valor fixo ao anterior — o crescimento é constante e previsível. Na PG, cada termo multiplica o anterior por um fator fixo — o crescimento acelera cada vez mais, especialmente com razões maiores que 1. É a mesma lógica por trás dos juros compostos, que crescem de forma geométrica, diferente dos juros simples, que crescem de forma aritmética.
Onde a PG aparece na prática
- Juros compostos — o crescimento de um investimento com juros sobre juros segue uma PG
- Crescimento populacional — modelos simplificados de crescimento populacional costumam seguir padrões geométricos
- Depreciação de ativos — quando um bem perde um percentual fixo do seu valor a cada período
- Escalas musicais — as frequências das notas numa escala musical temperada seguem uma progressão geométrica
Perguntas frequentes
O que é progressão geométrica?
Uma sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por uma razão constante.
Qual a diferença entre PA e PG?
PA cresce somando (linear); PG cresce multiplicando (exponencial).