Diferença entre Arranjo, Combinação e Permutação
Resposta rápida: no arranjo A(n,p) a ordem dos elementos importa; na combinação C(n,p), não importa; a permutação é o caso especial em que todos os n elementos são organizados (p = n). Todas as três dependem do fatorial.
É um dos tópicos que mais confunde em análise combinatória, porque as três fórmulas se parecem — a diferença real está num detalhe conceitual simples: a ordem importa ou não.
⚡ Calcule os três de uma vez Informe n e p na Calculadora de Análise Combinatória.Fatorial: a base de tudo
O fatorial de um número n (escrito n!) é o produto de todos os inteiros de 1 até n. Por exemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por convenção, 0! = 1. É a peça que aparece nas três fórmulas seguintes.
Arranjo: quando a ordem importa
O arranjo A(n,p) conta quantas formas existem de escolher e ordenar p elementos entre n disponíveis: A(n,p) = n! ÷ (n − p)!. Exemplo clássico: de quantas formas 3 pessoas podem ocupar o 1º, 2º e 3º lugar de uma corrida, escolhidas entre 10 competidores? Como a posição (ordem) importa, é um arranjo: A(10,3) = 10! ÷ 7! = 720.
Combinação: quando a ordem não importa
A combinação C(n,p) conta quantos grupos diferentes de p elementos existem entre n, sem se importar com a ordem: C(n,p) = n! ÷ [p! × (n − p)!]. Exemplo: de quantas formas posso escolher 3 pessoas entre 10 para formar uma comissão (sem cargos distintos)? Como não importa a ordem de escolha, é uma combinação: C(10,3) = 120 — bem menor que o arranjo, porque grupos com os mesmos 3 membros em ordens diferentes contam como um só.
Permutação: o caso especial
A permutação é simplesmente o arranjo de todos os n elementos (p = n): P(n) = n!. Exemplo: de quantas formas 5 livros diferentes podem ser organizados numa estante? P(5) = 5! = 120 formas.
Por que o arranjo é sempre maior que a combinação
Para os mesmos valores de n e p, o arranjo sempre resulta num número maior ou igual à combinação — porque o arranjo conta cada grupo de p elementos em todas as suas ordens possíveis como resultados distintos, enquanto a combinação conta esse mesmo grupo uma única vez. A relação exata é: A(n,p) = C(n,p) × p!.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre arranjo e combinação?
No arranjo a ordem importa; na combinação, não. Por isso o arranjo sempre resulta num número maior ou igual, para os mesmos n e p.
O que é fatorial?
n! é o produto de todos os inteiros de 1 até n. Ex.: 5! = 120. Por definição, 0! = 1.